한 줄 요약 · 25문항 중 상·최상이 9문항(약 36%)입니다.
남산고1(남산고등학교 1학년) 2025학년도 2학기 기말고사 공통수학2 시험을 수성구 범어동 수학학원 스키마수학학원이 문항별로 분석했어요.
문항 구성
1시험 개요
- 학교
- 남산고등학교 (1학년)
- 시험명
- 2025학년도 2학기 기말고사 (공통수학2)
- 문항 수
- 선택형 16문항 + 단답형 6문항 + 서술형 3문항 = 총 25문항
- 출제 범위
- 평면좌표·원과 직선 ~ 유리함수·무리함수
2시험범위
평면좌표·원과 직선 ~ 함수·합성·역함수, 유리함수·무리함수
- 평면좌표, 원과 직선(접선·현), 대칭이동
- 함수·합성함수·역함수, 일대일대응
- 유리함수(평행이동·교점)
- 무리함수(그래프·교점·근)
3출제경향 총평
① 난이도 분포
25문항 중 상·최상이 9문항(약 36%)입니다. 전반(1~6)은 평면좌표·원·함수의 정형으로 평이하고, 변별은 원·직선 결합과 함수 심화, 후반 서답형에 집중됩니다. 최상 1문항(함수의 개수)이 최상위권을 가릅니다.
② 변별력 문제
유리함수 보기(11), 무리-직선 범위(14), 평행이동·대칭 방정식(15), 두 무리함수+직각(16), 단답 내접원+대칭+접선(20)·조각함수 근 개수(21), 서술형 유리+산술기하(24)·역함수+합성 곱(25), 그리고 최상인 함수의 개수(22)가 변별 문항입니다.
③ 변형 및 계산량
다른 학교와 달리 원·직선(평면좌표)이 함께 출제되어 범위가 넓고, 전반은 공식 적용, 후반은 함수 결합의 사고가 요구됩니다.
④ 서답형(논술형) 분석
단답 6·서술 3으로 서답형 비중이 크며, 내접원+대칭+접선(20)·조각함수 근 개수(21)·유리+산술기하(24)·역함수 합성 곱(25)이 상 변별 구간입니다.
4문항별 분석표
아래 표는 전체 25문항(선택형 16 + 단답형 6 + 서술형 3)에 대한 분석입니다.
| 번호 | 문제 유형 | 출제 의도 | 풀이 전략 | 난이도 · 영역 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 점의 평행이동 | 점의 좌표를 구하는가 | (2,-3) → (1,-1) | 하계산력 |
| 2 | 원의 접선 | 양수 a를 구하는가 | r=3·기울기2 → a=3 | 중계산력 |
| 3 | 합성·역함수 | 값을 구하는가 | (g∘f)⁻¹(5)=3 | 중계산력 |
| 4 | 무리식의 간단히 | f(2)의 값을 구하는가 | 통분 → 2/(1-x), f(x)=1-x → -1 | 중계산력 |
| 5 | 유리함수 평행이동 | 함수를 고르는가 | y=2/x 이동 → 2/(x+2)-1 | 중이해력 |
| 6 | 직선의 대칭이동 | 상수 a를 구하는가 | x축·y=x 대칭 → a=3 | 중계산력 |
| 7 | 삼각형의 외접원 | 넓이를 구하는가 | 직각삼각형·빗변=지름 → 20π | 중상문제해결력 |
| 8 | 원의 접선과 넓이 | 둘러싸인 넓이를 구하는가 | P(0,4)·두 접선·x축 → 16√3/3 | 중상문제해결력 |
| 9 | 원과 직선(현) | 선분 PQ의 길이를 구하는가 | 지름 양끝·중심(1,0)r3·현 → 2√7 | 중상문제해결력 |
| 10 | 대칭+원의 이등분 | k·넓이의 곱을 구하는가 | l이 C₁ 중심 지남 → 2·16π=32π | 중상문제해결력 |
| 11 | 유리함수(보기) | 옳은 것을 고르는가 | 원점대칭·사분면·접선 casework → ㄴ,ㄷ | 상추론력 |
| 12 | 대칭 최단거리 | 삼각형 둘레를 구하는가 | A 대칭·AP+BP 최소 → 5+7=12 | 중상문제해결력 |
| 13 | 쿠폰 합성함수 | 가장 할인받는 것을 고르는가 | 지불액 최소 비교 → (f∘g) | 중상문제해결력 |
| 14 | 무리함수-직선 범위 | 실수 t의 범위를 구하는가 | 두 점 만남·치환 → 2≤t<9/4 | 상문제해결력 |
| 15 | 평행이동·대칭 방정식(보기) | 옳은 것을 고르는가 | g(x,-y+10)·보기 판정 → ㄷ | 상추론력 |
| 16 | 두 무리함수+직각삼각형 | 4a/b의 값을 구하는가 | 교점 A,B·∠A=90° → C(25/2,5) → 10 | 상문제해결력 |
| 17 | 무리함수 최대최소(단답) | 최솟값을 구하는가 | 최댓값 3 → a=10, 최솟값 1 | 중계산력 |
| 18 | 부분분수(단답) | 405·f(2020)을 구하는가 | 부분분수 1/x-1/(x+5) telescoping | 중상계산력 |
| 19 | 그래프 반복 합성(단답) | 값을 구하는가 | (f∘f∘f∘f)(1/3)=3 | 중상문제해결력 |
| 20 | 내접원+대칭+접선(단답) | 양수 a를 구하는가 | 내접원 r=1·평행이동·y=x 대칭·접선거리 → (5√3-3)/3 | 상문제해결력 |
| 21 | 조각함수 |f-3|=t 근 개수(단답) | 실근 3개인 t의 범위를 구하는가 | 유리·무리 조각 그래프로 교점 수 분석 → 0<t<2 | 상문제해결력 |
| 22 | 함수의 개수(단답) | p-q-r의 값을 구하는가 | 7의 배수·나머지로 일대일·역·상수 → 67 | 최상문제해결력 |
| 23 | 포물선 평행이동(서술) | a+b의 값을 구하는가 | (2,-1)→(-1,2) 이동 → x²+8x+12 → 20 | 중계산력 |
| 24 | 유리함수+산술기하(서술) | PQ+PR의 최솟값을 구하는가 | f=(x+2)/(x-2)·AM-GM → 7 | 상문제해결력 |
| 25 | 역함수+합성 곱(서술) | k의 값을 구하는가 | h(n)=√((n+1)/n)·곱 telescoping → 19 | 상문제해결력 |
5분석 요약
난이도 분포
행동영역 분포
학습 권장 전략
하·중 8문항은 속도와 정확도로 모두 맞히고, 중상 8문항을 안정적으로 득점한 뒤 상·최상 9문항에서 등급이 갈립니다. 원·직선 결합과 유리·무리함수 심화, 서답형을 집중 훈련해야 합니다.
6준비 방향
학군지(범어·대치) 상위권 기준의 대비 방향입니다.
① 목표 등급별 공략 라인
상·최상 9문항이 변별선입니다. 범위가 넓은 만큼 1등급은 하·중·중상 16문항을 실수 없이 확보한 뒤 상·최상에서 다수를 잡아야 결정됩니다.
② 단원별 우선순위·비중
평면좌표·원과 직선이 함께 출제되는 점이 특징이며, 함수(합성·역함수)와 유리·무리함수가 변별을 책임집니다.
③ 변별 문항 심화 포인트
무리-직선 범위(14), 두 무리함수+직각(16), 함수의 개수(22)는 조건을 식·그래프로 옮겨 다단계로 분석하는 훈련이 필요합니다.
④ 실수 방지·서답형 대비
단답 6문항은 계산 정확도, 서술 3문항은 과정의 근거 제시가 득점을 좌우합니다.
⑤ 시험 운영 전략
범위가 넓으므로 원·직선·함수 정형을 신속히 끝내 후반 심화와 서답형에 시간을 확보하는 운영이 유리합니다.
⑥ 교재 활용 로드맵
평면좌표·원 정형부터 다진 뒤 명제·함수·유리/무리 심화로 확장하여, 넓은 범위를 고르게 완성하는 순서가 효율적입니다.
+남산고 고1 시험 흐름
같은 학교·같은 학년의 지난 시험과 나란히 보면 출제 수준의 변화가 보여요. 시험 이름을 누르면 그 시험 분석으로 이동해요.
| 시험 | 상·최상 | 서답형 |
|---|---|---|
| 2025 1학기 중간 공통수학1 · 25문항 | 5문항 20% | 단답형 6문항 |
| 2025 1학기 기말 공통수학1 · 25문항 | 8문항 32% | 단답형 6문항 |
| 2025 2학기 중간 공통수학2 · 25문항 | 4문항 16% | 서술형 9문항 |
| 2025 2학기 기말 이 글 공통수학2 · 25문항 | 9문항 36% | 단답형 6문항 |
| 2026 1학기 중간 공통수학1 · 23문항 | 6문항 26% | 단답형 7문항 |
| 2026 1학기 기말 공통수학1 · 24문항 | 4문항 17% | 단답형 4문항 |
!이 시험에서 자주 생기는 공부 실수
남산고등학교 시험 유형에서 학생들이 흔히 빠지는 공부 방식과, 그럴 때 자주 나오는 질문을 정리했어요.
함수의 개수 (22번)
이렇게 공부하면 · 함수 문제를 그래프 중심으로만 공부하면, 일대일·역함수·상수함수 조건을 만족하는 함수의 개수를 세는 문제에서 경우의 수로 연결하지 못하는 경우가 많아요.
자주 나오는 질문 · “함수 개수는 경우의 수처럼 세면 돼요?”
이렇게 바꿔 보세요 · 정의역의 원소마다 갈 수 있는 값을 표로 적고, 조건(일대일·상수 등)에 따라 곱셈·나눗셈 중 어떤 세기를 쓸지 정하는 연습을 해요.
단답 내접원·대칭·접선, 근 개수 (20·21번)
이렇게 공부하면 · 원·직선 단원과 함수 단원을 따로 공부하면, 내접원 이동과 대칭이 섞이거나 조각함수 근 개수를 묻는 단답형에서 조건을 놓치는 경우가 많아요.
자주 나오는 질문 · “원 문제인데 함수 단원 내용이 왜 나와요?”
이렇게 바꿔 보세요 · 이동·대칭을 단계별로 그림에 그려 원의 중심이 어디로 가는지 따라가고, 근 개수는 y=t 직선을 움직여 세는 연습을 해요.
서술형 유리함수+산술기하·합성 곱 (24·25번)
이렇게 공부하면 · 산술기하평균을 공식으로만 외우면, 유리함수 위의 점에서 거리 합의 최솟값을 구하는 서술형에서 등호 조건을 빠뜨리는 경우가 많아요.
자주 나오는 질문 · “등호 조건도 꼭 써야 해요?”
이렇게 바꿔 보세요 · 최솟값을 구한 뒤 '언제 등호가 성립하는지'와 그 점의 좌표를 한 줄로 따로 쓰는 습관을 들여요.
Q자주 묻는 질문
Q. 남산고1(남산고등학교 1학년) 2025학년도 2학기 기말고사 공통수학2 시험은 어려웠나요?
25문항 중 상·최상이 9문항(약 36%)입니다. 전체 25문항 중 상·최상 난도는 9문항(약 36%)입니다.
Q. 남산고등학교 1학년 공통수학2 시험의 변별 문항은 무엇이었나요?
유리함수 보기(11), 무리-직선 범위(14), 평행이동·대칭 방정식(15), 두 무리함수+직각(16), 단답 내접원+대칭+접선(20)·조각함수 근 개수(21), 서술형 유리+산술기하(24)·역함수+합성 곱(25), 그리고 최상인 함수의 개수(22)가 변별 문항입니다.
Q. 남산고등학교 공통수학2 내신은 어떻게 준비하면 좋을까요?
하·중 8문항은 속도와 정확도로 모두 맞히고, 중상 8문항을 안정적으로 득점한 뒤 상·최상 9문항에서 등급이 갈립니다. 원·직선 결합과 유리·무리함수 심화, 서답형을 집중 훈련해야 합니다.
Q. 남산고등학교 공통수학2 시험에서 학생들이 자주 하는 실수는 무엇인가요?
함수의 개수 (22번)에서 함수 문제를 그래프 중심으로만 공부하면, 일대일·역함수·상수함수 조건을 만족하는 함수의 개수를 세는 문제에서 경우의 수로 연결하지 못하는 경우가 많아요. 정의역의 원소마다 갈 수 있는 값을 표로 적고, 조건(일대일·상수 등)에 따라 곱셈·나눗셈 중 어떤 세기를 쓸지 정하는 연습을 해요.