한 줄 요약 · 남산고 미적분 기말은 전 문항 직접 풀이 결과 상·최상이 10문항(약 36%)으로, 중·중상이 두껍고 상위권 변별이 선택형 후반과 단답·서술에 집중된 균형형입니다.
남산고2(남산고등학교 2학년) 2025학년도 2학기 기말고사 미적분 시험을 수성구 범어동 수학학원 스키마수학학원이 문항별로 분석했어요.
문항 구성
1시험 개요
- 학교
- 남산고등학교 (2학년)
- 시험명
- 2025학년도 2학기 기말고사
- 과목
- 미적분
- 문항 수
- 선택형 17문항 + 단답형 6문항 + 서술형 5문항 = 총 28문항
- 출제 범위
- 여러 가지 미분, 적분법(여러 가지 적분·정적분의 활용)
2시험범위
여러 가지 미분, 적분법(여러 가지 적분·정적분의 활용)
- 수열의 극한, 함수의 극한·연속
- 여러 가지 미분(지수·로그·삼각함수, 몫·합성·역함수·매개변수·음함수)
- 접선·극값·변곡점, 속도·가속도
- 여러 가지 적분(치환·부분적분, 삼각·유리함수)
- 정적분의 활용(넓이·부피·속도·거리·곡선의 길이)
3출제경향 총평
① 난이도 분포
남산고 미적분 기말은 전 문항 직접 풀이 결과 상·최상이 10문항(약 36%)으로, 중·중상이 두껍고 상위권 변별이 선택형 후반과 단답·서술에 집중된 균형형입니다. 경북고 미적분(82%)에 비해 체감 난도는 크게 완만합니다.
② 변별력 문제
반구 부피(10)·역함수 넓이(14)·접선 개수(15)·절댓값 미분가능(16)과 할선=접선(17, 최상), 단답 넓이함수(22)·넓이적분(23), 서술 사이클로이드(25)·리만합(26)·원뿔 극한(28)이 상 변별입니다.
③ 변형 및 계산량
여러 가지 미분·적분의 정형 계산 비중이 크고, 적분의 활용(넓이·부피·길이)과 함수 역추적이 상위권 변별을 만듭니다.
④ 서답형(논술형) 분석
단답 6 + 서술 4(소문항 포함)로 서답 비중이 큽니다. 넓이함수 미분(22)·사이클로이드 길이(25)·리만합(26·28)이 변별 구간이며, 과정 서술의 완결성이 중요합니다.
4문항별 분석표
아래 표는 전체 28문항에 대한 분석입니다.
| 번호 | 문제 유형 | 출제 의도 | 풀이 전략 | 난이도 · 영역 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 삼각함수 접선 | ab | y'=−sinx, 접선 y=−x+π/2 → −π/2 | 중문제해결력 |
| 2 | 넓이(로그) | 넓이 | ∫₁⁴e^y dy → e⁴−e | 중계산력 |
| 3 | 무리함수 접선 | a+b | 기울기 1/2 접점 → 5/2 | 중문제해결력 |
| 4 | 부정적분 | f(e²) | lnx−(2/3)x^{3/2} → 2−2e³/3 | 중계산력 |
| 5 | 변곡점 접선 | 기울기 | y''=0 → x=1, y'(1) → 1 | 중상이해력 |
| 6 | 매개변수 속도·가속도 | a+v | e^t(sinπt+πcosπt) 미분 → −3πe | 중상계산력 |
| 7 | 정적분(삼각) | 값 | ∫1/√(4−x²)=arcsin → 2π/3 | 중계산력 |
| 8 | 적분방정식 | f(4) | F'=f 미분·f'(x)=3x−2/x² → 49/2 | 중문제해결력 |
| 9 | 적분방정식(상수) | f(−1) | A=∫e^tf 상수로 치환 → e+2/3 | 중상문제해결력 |
| 10 | 반구 기울임 부피 | p | 30°·캡 적분 ∫₄⁸π(64−x²) → 320/3 | 상문제해결력 |
| 11 | 지수함수 적분 | f(ln4) | 2/(e^x+2)=1−e^x/(e^x+2) → ln6 | 중상계산력 |
| 12 | 미분계수·적분 | f(π/3) | (1/4)f'=tanx+tan³x → 6 | 중상계산력 |
| 13 | 정적분의 성질 | ∫(x+1)f | 우함수·치환 성질 결합 | 중상문제해결력 |
| 14 | 역함수 넓이 | 넓이 | 대칭으로 f와 접선 사이 넓이 → 4/3 | 상문제해결력 |
| 15 | 접선의 개수 | ab | t=f(s)−sf'(s) 분석 → 96/e² | 상문제해결력 |
| 16 | 절댓값 함수 미분가능 | k 합 | f(x)=k가 f'=0에서만 → 39π/4 | 상문제해결력 |
| 17 | 할선=접선 조건 | b+c | ㉠ 만족 k 개수로 g(t) 정의 | 최상추론력 |
| 18 | 정적분(지수·단답1) | 값 | (9^x−1)/(3^x+1)=3^x−1 → 24/ln3−2 | 중상계산력 |
| 19 | 등속원운동 가속도(단답2) | 가속도 크기 | |a|=ω²r=9 | 중계산력 |
| 20 | 극값 조건(단답3) | a 범위 | f'=0 두 양근 → −9/4<a<0 | 중상문제해결력 |
| 21 | 매개변수 접선(단답4) | 접선 방정식 | dy/dx(t=π) → y=−(x−e^π) | 중상문제해결력 |
| 22 | 넓이 함수·미분(단답5) | S(a) 합 | S'(a)=2 경우·절댓값 적분 → 10 | 상문제해결력 |
| 23 | 넓이 적분(단답6) | 정적분 | S(x) 넓이·∫[S(1−sinθ)−S(1−cosθ)] | 상문제해결력 |
| 24 | 접선(서술1) | 접선 방정식 | (0,3)에서 lnx 접선 → y=x/e⁴+3 | 중상문제해결력 |
| 25 | 사이클로이드 길이(서술2) | 움직인 거리 | √((x')²+(y')²)=2sin(t/2) 적분 → 4 | 상문제해결력 |
| 26 | 리만합·적분(서술3) | 급수의 합 | (π/n)Σe^{kπ/n}sin → ∫₀^πe^x sinx → (e^π+1)/2 | 상계산력 |
| 27 | 원뿔 단면 부피(서술4-1) | ∫₀ʰS(x)dx | S=π(rx/h)² 적분 → πr²h/3 | 중상계산력 |
| 28 | 리만합 극한(서술4-2) | lim Vₙ | Σπ(rk/n)²(h/n) 극한 → πr²h/3 | 상문제해결력 |
5분석 요약
난이도 분포
행동영역 분포
학습 권장 전략
중·중상 18문항을 실수 없이 확보하는 것이 핵심이며, 상 9문항과 최상 1문항에서 상위권이 갈립니다. 적분의 활용(넓이·부피·길이)과 접선·역함수 유형을 집중 훈련해야 합니다.
6준비 방향
범어 학군지 상위권 기준의 남산고 미적분 기말 맞춤 대비입니다.
① 등급 설계와 변별선
상·최상 10문항이 변별선입니다. 두터운 중·중상의 실수 제로화와 서답형 완결성이 등급을 결정합니다.
② 단원별 우선순위
여러 가지 미분·적분과 그 활용(넓이·부피·길이)이 변별의 축이고, 기본 미적분은 정확도로 득점해야 합니다.
③ 변별 문항 공략
14~17번·단답 22·23은 역함수 넓이·접선 개수·넓이함수 미분을 집중 훈련하는 것이 효과적입니다.
④ 서술형·실수 관리
서술형은 사이클로이드·리만합의 과정 근거를 명시하고, 기본 문항은 검산으로 실수를 줄여야 합니다.
⑤ 학습 로드맵
미분·적분 정형 → 접선·역함수 심화 → 넓이·부피·길이 활용 순으로 확장하는 로드맵을 권합니다.
!이 시험에서 자주 생기는 공부 실수
남산고등학교 시험 유형에서 학생들이 흔히 빠지는 공부 방식과, 그럴 때 자주 나오는 질문을 정리했어요.
역함수 넓이·접선의 개수 (14·15번)
이렇게 공부하면 · 접선 문제를 '접점 잡고 기울기 구하기' 한 가지 순서로만 익혀 두면, 역함수 그래프와의 넓이나 접선이 몇 개 그어지는지를 묻는 변형에서 식을 세우지 못하고 막히는 경우가 많아요.
자주 나오는 질문 · “접선 방정식은 구할 줄 아는데, 접선이 몇 개냐고 물으면 어떻게 해야 하나요?”
이렇게 바꿔 보세요 · 접점을 (s, f(s))로 두고 접선이 지나는 점을 대입해 s에 대한 식을 만든 뒤, 그 식의 그래프를 그려 해의 개수를 세는 연습을 해요.
넓이 함수의 미분·넓이 적분 (단답 22·23번)
이렇게 공부하면 · 정적분을 넓이 계산 공식으로만 연습하면, 넓이 자체를 S(a) 같은 함수로 두고 미분하거나 다시 적분하라는 단답형에서 무엇을 변수로 봐야 할지 헷갈리는 경우가 많아요.
자주 나오는 질문 · “S(a)를 미분하라는데, 넓이를 어떻게 미분하나요?”
이렇게 바꿔 보세요 · 넓이를 a에 대한 정적분 식으로 먼저 써 놓고, 적분 구간이나 피적분함수 중 어디에 a가 들어 있는지 표시한 다음 미분하는 연습을 해요.
사이클로이드 길이·리만합 서술형 (25·26·28번)
이렇게 공부하면 · 서술형을 답 위주로 풀고 과정은 머릿속으로만 넘기는 방식으로 공부하면, 곡선의 길이 공식이나 급수를 정적분으로 바꾸는 근거를 써야 하는 문항에서 부분 점수를 잃는 경우가 많아요.
자주 나오는 질문 · “답은 맞았는데 서술형에서 왜 감점이 됐을까요?”
이렇게 바꿔 보세요 · Σ를 ∫로 바꿀 때 Δx와 xₖ를 무엇으로 잡았는지, 길이 공식에 넣은 식이 무엇인지를 한 줄씩 적어 내는 연습을 해요.
Q자주 묻는 질문
Q. 남산고2(남산고등학교 2학년) 2025학년도 2학기 기말고사 미적분 시험은 어려웠나요?
남산고 미적분 기말은 전 문항 직접 풀이 결과 상·최상이 10문항(약 36%)으로, 중·중상이 두껍고 상위권 변별이 선택형 후반과 단답·서술에 집중된 균형형입니다. 전체 28문항 중 상·최상 난도는 10문항(약 36%)입니다.
Q. 남산고등학교 2학년 미적분 시험의 변별 문항은 무엇이었나요?
반구 부피(10)·역함수 넓이(14)·접선 개수(15)·절댓값 미분가능(16)과 할선=접선(17, 최상), 단답 넓이함수(22)·넓이적분(23), 서술 사이클로이드(25)·리만합(26)·원뿔 극한(28)이 상 변별입니다.
Q. 남산고등학교 미적분 내신은 어떻게 준비하면 좋을까요?
중·중상 18문항을 실수 없이 확보하는 것이 핵심이며, 상 9문항과 최상 1문항에서 상위권이 갈립니다. 적분의 활용(넓이·부피·길이)과 접선·역함수 유형을 집중 훈련해야 합니다.
Q. 남산고등학교 미적분 시험에서 학생들이 자주 하는 실수는 무엇인가요?
역함수 넓이·접선의 개수 (14·15번)에서 접선 문제를 '접점 잡고 기울기 구하기' 한 가지 순서로만 익혀 두면, 역함수 그래프와의 넓이나 접선이 몇 개 그어지는지를 묻는 변형에서 식을 세우지 못하고 막히는 경우가 많아요. 접점을 (s, f(s))로 두고 접선이 지나는 점을 대입해 s에 대한 식을 만든 뒤, 그 식의 그래프를 그려 해의 개수를 세는 연습을 해요.