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한 줄 요약 · 경북고 미적분 기말은 전 문항을 직접 풀어 본 결과 상·최상이 18문항(약 82%)으로, 미적분 선택 집단을 겨냥한 최상위권 난도입니다.
경북고2(경북고등학교 2학년) 2025학년도 2학기 기말고사 미적분 시험을 수성구 범어동 수학학원 스키마수학학원이 문항별로 분석했어요.
문항 구성
1시험 개요
- 학교
- 경북고등학교 (2학년)
- 시험명
- 2025학년도 2학기 기말고사
- 과목
- 미적분
- 문항 수
- 선택형 16문항 + 서술형 6문항 = 총 22문항
- 출제 범위
- 여러 가지 미분, 적분법(여러 가지 적분·정적분의 활용)
2시험범위
여러 가지 미분, 적분법(여러 가지 적분·정적분의 활용)
- 수열의 극한, 함수의 극한·연속
- 여러 가지 미분(지수·로그·삼각함수, 몫·합성·역함수·매개변수·음함수)
- 접선·극값·변곡점, 속도·가속도
- 여러 가지 적분(치환·부분적분, 삼각·유리함수)
- 정적분의 활용(넓이·부피·속도·거리·곡선의 길이)
3출제경향 총평
① 난이도 분포
경북고 미적분 기말은 전 문항을 직접 풀어 본 결과 상·최상이 18문항(약 82%)으로, 미적분 선택 집단을 겨냥한 최상위권 난도입니다. 선택형 후반(11~16)이 모두 최상급 킬러이고, 그 앞 3~10번도 대부분 상이어서 변별이 극단적으로 두텁습니다.
② 변별력 문제
원·삼각 넓이 미분(11)·접선 개수 함수(12)·할선=접선 불연속(13)·역함수 적분(14)·역함수 미분 조건(15)·사차함수 적분(16)이 모두 최상 변별입니다. 삼각적분(7)·속도 위치(8)·접선 넓이(9)·곡선 길이(10)와 서술 전반이 상을 이룹니다.
③ 변형 및 계산량
여러 가지 미분·적분의 정형을 넘어, 함수를 조건으로 역추적하고 기하·극한·테일러와 결합하는 최상급 사고가 변별 문항 대부분을 차지합니다.
④ 서답형(논술형) 분석
서술 4문항(소문항 포함)으로, 반원 넓이 미분(18)·적분방정식(19)·리만합(21)·부피(22)가 모두 상급입니다. 과정의 완결성과 결합 사고가 당락을 가릅니다.
4문항별 분석표
아래 표는 전체 22문항에 대한 분석입니다.
| 번호 | 문제 유형 | 출제 의도 | 풀이 전략 | 난이도 · 영역 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 몫의 미분 | f'(e) | 몫미분 공식 적용 → −1/e | 중계산력 |
| 2 | 부정적분·부분적분 | f(1) | (2x+1)e^{3x} 부분적분 → (7e³−1)/9 | 중계산력 |
| 3 | 로그함수 부등식 최대 | k 최댓값 | k≤min(4x−2xlnx−5) → −5+6/e | 상문제해결력 |
| 4 | 매개변수 가속도 | 가속도 | x'',y'' 계산 → (−4cos2t,−9sin3t) | 중계산력 |
| 5 | 정적분·리만합 | pq | Σ/n→(1/3)∫lndx·로그적분 → −11/3 | 상계산력 |
| 6 | 역함수·매개변수 미분 | dy/dx | g'(10)=1/f'(−1), 매개변수 → −7/9 | 상문제해결력 |
| 7 | 삼각함수 적분 | 정적분 | cot³x=cotx(csc²−1) 치환 → 3/2−ln2 | 상계산력 |
| 8 | 속도·위치 | 가장 먼 위치 | x=1+∫v, 극값 비교 → 6√3/π+4 | 상문제해결력 |
| 9 | 접선·넓이 | S(e²) | 접선·곡선·x축 넓이 적분 → e²−1 | 상문제해결력 |
| 10 | 곡선의 길이 | pq | √(1+y'²) 적분·조각함수 → 21/2 | 상문제해결력 |
| 11 | 원·삼각 넓이 미분 | a+b+c | CP·CQ 길이 함수 f'(π/4) → 53 | 최상문제해결력 |
| 12 | 접선의 개수 | a+b | f(t)=1 두 실근 조건 → 12 | 최상문제해결력 |
| 13 | 할선=접선 불연속 | k 합 | g(t) 불연속점(변곡 관련) 합 | 최상추론력 |
| 14 | 역함수의 적분 | ∫f'cosdx | 역함수 적분관계·f(n)=nπ → 3π/4 | 최상문제해결력 |
| 15 | 역함수 미분·조건 | h'(−1) | g=(u+1)³ 구성, g'(ln2) → −1/6 | 최상문제해결력 |
| 16 | 사차함수 조건·적분 | 100eᵖ+a | f,g 결정·|h'|/(h−6g) 적분 | 최상문제해결력 |
| 17 | 지수·삼각 곱 미분(서술1) | a+b | 2계도함수 비 2/3 → a=2,b=1 → 3 | 상계산력 |
| 18 | 반원 오각형 넓이 미분(서술2) | f'(a) | 넓이 sin2θ−cos2θ, cos a=1/3 → (8√2−14)/9 | 상문제해결력 |
| 19 | 적분방정식(서술3) | f(3) | 연속·적분방정식 → p+qln3 | 상문제해결력 |
| 20 | 입체 단면 부피(서술4-1) | ∫₀ʰS(x)dx | S(x)=πr²x²/h² 적분 → πr²h/3 | 중상계산력 |
| 21 | 리만합(서술4-2) | ΣS(xₖ)Δx | 구간 8등분 리만합 → 21√3/4 | 상문제해결력 |
| 22 | 정적분 부피(서술4-3) | T의 부피 | ∫S(x)dx, S=(√3/2)(4−x²) → 16√3/3 | 상계산력 |
5분석 요약
난이도 분포
행동영역 분포
학습 권장 전략
중 3문항을 실수 없이 확보하는 것은 기본이고, 상 12문항을 얼마나 처리하느냐와 최상 6문항(킬러)에서 몇 개를 더 잡느냐가 최상위권을 결정합니다. 역함수·접선·적분 활용의 최상급 유형을 집중 훈련해야 합니다.
6준비 방향
범어 학군지 최상위권 기준의 경북고 미적분 기말 맞춤 대비입니다.
① 등급 설계와 변별선
상·최상 18문항이 변별선으로, 그룹 내 최고 난도입니다. 선택형 후반 킬러 6문항이 사실상 등급을 가릅니다.
② 단원별 우선순위
여러 가지 미분(역함수·매개변수·합성)과 적분의 활용(넓이·부피·길이)이 변별의 축이고, 기본 미적분은 정확도로 득점해야 합니다.
③ 변별 문항 공략
11~16번은 넓이 미분·접선 개수·역함수 적분/미분·사차함수 조건을 집중 훈련하는 것이 효과적입니다.
④ 서술형·실수 관리
서술형은 넓이·적분방정식의 과정 근거를 빠짐없이 적어 부분점수를 확보해야 합니다.
⑤ 학습 로드맵
미분·적분 정형 완성 → 역함수·매개변수 심화 → 넓이·부피·테일러 결합(킬러) 순으로 확장하는 로드맵을 권합니다.
!이 시험에서 자주 생기는 공부 실수
경북고등학교 시험 유형에서 학생들이 흔히 빠지는 공부 방식과, 그럴 때 자주 나오는 질문을 정리했어요.
역함수의 미분·적분 (14·15번)
이렇게 공부하면 · 역함수 미분 공식만 외워 두고 문제를 풀면, 역함수 적분 관계나 조건으로 함수를 직접 구성해야 하는 문제에서 막히는 경우가 많아요.
자주 나오는 질문 · “g'(a)=1/f'(b)는 아는데, 어떤 b를 넣어야 하는지와 적분에서는 어떻게 쓰는지 모르겠어요.”
이렇게 바꿔 보세요 · 원함수와 역함수 그래프를 함께 그리고 넓이 관계로 역함수 적분을 바꿔 보는 연습을 해요.
넓이 미분·접선의 개수 (11·12번)
이렇게 공부하면 · 공식 대입형 미분 문제만 반복하면, 도형의 길이·넓이를 각이나 변수의 함수로 직접 세워야 하는 문제에서 식을 못 세우는 경우가 많아요.
자주 나오는 질문 · “그림은 이해되는데 넓이를 θ에 대한 식으로 어떻게 세워야 할지 모르겠어요.”
이렇게 바꿔 보세요 · 그림에서 변하는 양 하나를 정하고 길이·넓이를 그 변수의 함수로 먼저 써 보는 연습을 해요.
서술형 적분방정식·리만합·부피 (19·21·22번)
이렇게 공부하면 · 답만 맞추는 방식으로 적분 활용을 공부하면, 서술형에서 연속 조건이나 리만합→정적분 변환 근거를 빠뜨려 부분점수를 잃는 경우가 많아요.
자주 나오는 질문 · “답은 맞았는데 서술형에서 왜 감점됐는지 모르겠어요.”
이렇게 바꿔 보세요 · 적분방정식은 양변 미분·대입 조건을, 부피는 단면 넓이 S(x)를 세우는 과정을 한 줄씩 근거와 함께 쓰는 연습을 해요.
Q자주 묻는 질문
Q. 경북고2(경북고등학교 2학년) 2025학년도 2학기 기말고사 미적분 시험은 어려웠나요?
경북고 미적분 기말은 전 문항을 직접 풀어 본 결과 상·최상이 18문항(약 82%)으로, 미적분 선택 집단을 겨냥한 최상위권 난도입니다. 전체 22문항 중 상·최상 난도는 18문항(약 82%)입니다.
Q. 경북고등학교 2학년 미적분 시험의 변별 문항은 무엇이었나요?
원·삼각 넓이 미분(11)·접선 개수 함수(12)·할선=접선 불연속(13)·역함수 적분(14)·역함수 미분 조건(15)·사차함수 적분(16)이 모두 최상 변별입니다. 삼각적분(7)·속도 위치(8)·접선 넓이(9)·곡선 길이(10)와 서술 전반이 상을 이룹니다.
Q. 경북고등학교 미적분 내신은 어떻게 준비하면 좋을까요?
중 3문항을 실수 없이 확보하는 것은 기본이고, 상 12문항을 얼마나 처리하느냐와 최상 6문항(킬러)에서 몇 개를 더 잡느냐가 최상위권을 결정합니다. 역함수·접선·적분 활용의 최상급 유형을 집중 훈련해야 합니다.
Q. 경북고등학교 미적분 시험에서 학생들이 자주 하는 실수는 무엇인가요?
역함수의 미분·적분 (14·15번)에서 역함수 미분 공식만 외워 두고 문제를 풀면, 역함수 적분 관계나 조건으로 함수를 직접 구성해야 하는 문제에서 막히는 경우가 많아요. 원함수와 역함수 그래프를 함께 그리고 넓이 관계로 역함수 적분을 바꿔 보는 연습을 해요.