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한 줄 요약 · 사대부고 미적분 기말은 전 문항 직접 풀이 결과 상·최상이 10문항(약 53%)으로, 미적분 선택 집단을 겨냥한 최상위권 난도입니다.
경북사대부고2(경북대학교사범대학부설고등학교 2학년) 2025학년도 2학기 기말고사 미적분 시험을 수성구 범어동 수학학원 스키마수학학원이 문항별로 분석했어요.
문항 구성
1시험 개요
- 학교
- 경북대학교사범대학부설고등학교 (2학년)
- 시험명
- 2025학년도 2학기 기말고사
- 과목
- 미적분
- 문항 수
- 선택형 15문항 + 서답형 4문항 = 총 19문항
- 출제 범위
- 여러 가지 미분, 적분법(여러 가지 적분·정적분의 활용)
2시험범위
여러 가지 미분, 적분법(여러 가지 적분·정적분의 활용)
- 수열의 극한, 함수의 극한·연속
- 여러 가지 미분(지수·로그·삼각함수, 몫·합성·역함수·매개변수·음함수)
- 접선·극값·변곡점, 속도·가속도·관련변화율
- 여러 가지 적분(치환·부분적분, 삼각·유리함수)
- 정적분의 활용(넓이·부피·속도·거리)
3출제경향 총평
① 난이도 분포
사대부고 미적분 기말은 전 문항 직접 풀이 결과 상·최상이 10문항(약 53%)으로, 미적분 선택 집단을 겨냥한 최상위권 난도입니다. 접선 2개 조건(13)이 최상 킬러이고, 그래프 보기(7)·접선 넓이(8)·적분함수(11)·관련변화율(14)·역함수 미분(15)과 서답 전반이 상 변별입니다.
② 변별력 문제
접선 2개 조건의 모든 a 합(13, 최상)이 압도적 킬러이고, 음함수 접선 넓이(8)·적분함수 접선(11)·관련변화율(14)·최솟값 역함수 미분(15), 서답 공통접선·변곡점·적분방정식(16~19)이 상 변별입니다.
③ 변형 및 계산량
여러 가지 미분·적분의 정형을 넘어 그래프 해석·접선 개수·역함수·적분방정식을 종합합니다. 계산보다 개형과 조건 해석이 변별의 축입니다.
④ 서답형(논술형) 분석
서답 4문항으로, 공통접선 k(16)·변곡점(17)·적분방정식(19)이 변별 구간입니다. 과정의 근거를 빠짐없이 적는 완결성이 당락을 가릅니다.
4문항별 분석표
아래 표는 전체 19문항에 대한 분석입니다.
| 번호 | 문제 유형 | 출제 의도 | 풀이 전략 | 난이도 · 영역 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 매개변수 미분 | dy/dx | dy/dt÷dx/dt=2t/2=t, t=3 → 3 | 하계산력 |
| 2 | 이계도함수 | f''(π/6) | f=sin2x,f''=−4sin2x → −2√3 | 중계산력 |
| 3 | 정적분 | 값 | ∫₁²2/x²=2[−1/x] → 1 | 하계산력 |
| 4 | 극값·변곡점 조건 | ab | f'(π/2)=0→b=−1, f''(π/6)=0→a=√3 → −√3 | 중상이해력 |
| 5 | 급수→정적분 | 같은 값 | ∑(1+2k/n)²(1/n)=∫₀¹(1+2x)²dx → (1/2)∫₁³x²dx | 중상이해력 |
| 6 | 삼각 정적분 | 값 | cot²x+1=csc²x, ∫csc²x=[−cotx] → √3 | 중상계산력 |
| 7 | x³e^{-x} 보기 | 옳은 것 | 증가구간·변곡점3·점근선 교점(원점) → ㄱ,ㄴ | 상추론력 |
| 8 | 음함수 접선 넓이 | 넓이 | (1,2)에서 y'=−1/2, 절편 5·5/2 → 25/4 | 상문제해결력 |
| 9 | 속도 적분 | f(π/2)−f(0) | ∫₀^{π/2}e^{-t}(sint−cost)dt=[−e^{-t}sint] → −1/√(e^π) | 중상문제해결력 |
| 10 | 정적분 | 값 | ∫₀^{ln3}1/(eˣ+1)=[x−ln(eˣ+1)] → ln(3/2) | 중상계산력 |
| 11 | 적분함수 접선 | 3√a+b | f'(e)=1/e²=a, b=1−3/e → 3/e+1−3/e=1 | 상문제해결력 |
| 12 | 구분구적 오차 | n 최솟값 | Sₙ=6+6/n, |Sₙ−6|=6/n<1/10 → n≥61 | 중상문제해결력 |
| 13 | 접선 2개 조건 | 모든 a 합 | t=0 포함 접선 수 분석, a=0·g(2±√2) → 6 | 최상문제해결력 |
| 14 | 관련변화율 | 멀어지는 속도 | D=√(120²+x²),x=50,D=130 → 125/13 | 상문제해결력 |
| 15 | 최솟값·역함수 미분 | g'(ln(e²+1)) | F'=f−s, a=e², g'=1/f'(a) → (e²+1)/2 | 상문제해결력 |
| 16 | 공통접선(서답1) | 상수 k | y=lnx 접선 y=x/e가 x²/4+k에 접함, 판별식=0 → 1/e² | 상문제해결력 |
| 17 | 변곡점(서답2) | 좌표 | y''=x²(eˣ−e), x=1만 부호변화 → (1, 35e/12) | 상추론력 |
| 18 | 치환적분(서답3) | f(π/4) | u=1+tanx, f=2√(1+tanx), f(0)=2 → 2√2 | 상계산력 |
| 19 | 적분방정식(서답4) | f(0) | f=4xcosx+A, A=∫₀^{π/2}f → A=−4 → f(0)=−4 | 상문제해결력 |
5분석 요약
난이도 분포
행동영역 분포
학습 권장 전략
하·중·중상 9문항을 실수 없이 확보하고, 상 9문항을 처리하며 최상 1문항(접선 2개 조건)에서 최상위권이 갈립니다. 접선·역함수·적분방정식의 종합 유형을 집중 훈련해야 합니다.
6준비 방향
범어 학군지 최상위권 기준의 사대부고 미적분 기말 맞춤 대비입니다.
① 등급 설계와 변별선
상·최상 10문항이 변별선으로, 선택형 후반과 서답형 처리력이 등급을 결정합니다.
② 단원별 우선순위
여러 가지 미분(접선·역함수)과 적분의 활용(넓이·속도·적분방정식)이 변별의 축이고, 기본 미적분은 정확도로 득점해야 합니다.
③ 변별 문항 공략
13·14·15번은 접선 개수·관련변화율·역함수 미분을 집중 훈련하는 것이 효과적입니다.
④ 서술형·실수 관리
서술형은 공통접선·변곡점·적분방정식의 과정 근거를 빠짐없이 적어야 합니다.
⑤ 학습 로드맵
미분·적분 정형 → 접선·개형·역함수 심화 → 적분의 활용·적분방정식 종합 순으로 확장하는 로드맵을 권합니다.
!이 시험에서 자주 생기는 공부 실수
경북대학교사범대학부설고등학교 시험 유형에서 학생들이 흔히 빠지는 공부 방식과, 그럴 때 자주 나오는 질문을 정리했어요.
접선 2개 조건의 모든 a 합 (13번, 최상)
이렇게 공부하면 · 접선 공식에 대입해 한 번 답을 구하는 데서 멈추는 방식으로 공부하면, 접점 t에 대한 방정식의 실근 개수로 접선 수를 세야 하는 문제에서 막히는 경우가 많아요.
자주 나오는 질문 · “접선이 두 개라는 조건을 식으로 어떻게 바꿔야 하는지 모르겠어요.”
이렇게 바꿔 보세요 · 접점을 t로 두고 접선 식을 세운 뒤, t에 대한 방정식의 실근 개수를 그래프와 직선의 교점으로 세는 연습을 해요.
관련변화율·최솟값 역함수 미분 (14·15번)
이렇게 공부하면 · 공식에 바로 대입하는 문제만 반복하는 방식으로 공부하면, 변하는 양 사이의 관계식을 먼저 세워야 하는 관련변화율이나 역함수 미분 문제에서 막히는 경우가 많아요.
자주 나오는 질문 · “무엇을 시간에 대해 미분해야 하는지, 역함수 미분값은 어느 점에서 구해야 하는지 헷갈려요.”
이렇게 바꿔 보세요 · 변수 사이의 관계식을 먼저 쓰고 미분할 변수와 대입할 점을 표시한 뒤 계산하는 순서로 푸는 연습을 해요.
서답형 공통접선·변곡점·적분방정식 (16~19번)
이렇게 공부하면 · 답만 맞히고 풀이 과정을 생략하는 방식으로 공부하면, 변곡점의 부호 변화 확인이나 적분방정식의 상수 설정 같은 근거를 빠뜨려 서답형에서 감점되는 경우가 많아요.
자주 나오는 질문 · “답은 맞았는데 왜 서술형 점수가 깎였는지 모르겠어요.”
이렇게 바꿔 보세요 · 이계도함수 부호 변화, 정적분을 상수 A로 두는 이유처럼 판단 근거를 한 줄씩 적어 풀이를 완성하는 연습을 해요.
Q자주 묻는 질문
Q. 경북사대부고2(경북대학교사범대학부설고등학교 2학년) 2025학년도 2학기 기말고사 미적분 시험은 어려웠나요?
사대부고 미적분 기말은 전 문항 직접 풀이 결과 상·최상이 10문항(약 53%)으로, 미적분 선택 집단을 겨냥한 최상위권 난도입니다. 전체 19문항 중 상·최상 난도는 10문항(약 53%)입니다.
Q. 경북대학교사범대학부설고등학교 2학년 미적분 시험의 변별 문항은 무엇이었나요?
접선 2개 조건의 모든 a 합(13, 최상)이 압도적 킬러이고, 음함수 접선 넓이(8)·적분함수 접선(11)·관련변화율(14)·최솟값 역함수 미분(15), 서답 공통접선·변곡점·적분방정식(16~19)이 상 변별입니다.
Q. 경북대학교사범대학부설고등학교 미적분 내신은 어떻게 준비하면 좋을까요?
하·중·중상 9문항을 실수 없이 확보하고, 상 9문항을 처리하며 최상 1문항(접선 2개 조건)에서 최상위권이 갈립니다. 접선·역함수·적분방정식의 종합 유형을 집중 훈련해야 합니다.
Q. 경북대학교사범대학부설고등학교 미적분 시험에서 학생들이 자주 하는 실수는 무엇인가요?
접선 2개 조건의 모든 a 합 (13번, 최상)에서 접선 공식에 대입해 한 번 답을 구하는 데서 멈추는 방식으로 공부하면, 접점 t에 대한 방정식의 실근 개수로 접선 수를 세야 하는 문제에서 막히는 경우가 많아요. 접점을 t로 두고 접선 식을 세운 뒤, t에 대한 방정식의 실근 개수를 그래프와 직선의 교점으로 세는 연습을 해요.
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